La matrice hessiana è una matrice quadrata di dimensione n x n, dove n è il numero di variabili di una funzione di più variabili. Viene utilizzata per studiare la concavità e la convexità di una funzione, in particolare per determinare se un punto critico è un punto di massimo, di minimo o di sella.
La matrice hessiana è definita come la matrice delle derivate seconde parziali di una funzione rispetto alle sue variabili. Ad esempio, per una funzione f(x, y) di due variabili, la matrice hessiana sarà una matrice 2x2 con le seguenti entrate:
H(f) = [[ ∂²f/∂x² ∂²f/∂x∂y ], [ ∂²f/∂x∂y ∂²f/∂y² ]]
La matrice hessiana viene utilizzata per determinare la concavità o la convexità di una funzione in un punto critico. In particolare, si calcola il determinante della matrice hessiana e si valutano i suoi autovalori. Se il determinante è positivo e tutti gli autovalori sono positivi, il punto critico è un punto di minimo locale. Se il determinante è negativo e tutti gli autovalori sono negativi, il punto critico è un punto di massimo locale. Se il determinante è diverso da zero e gli autovalori hanno segno opposto, il punto critico è un punto di sella.
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